¿Qué son los números enteros?
Desde la antigüedad surge la necesidad de aprender a contar objetos, para poder saber cuantos tenían o para poder intercambiarlos, así surgieron los números naturales. Pero para representar algunas situaciones de la vida real como :temperaturas bajo cero, dinero adeudado, profundidad bajo el mar, etc. no era suficiente con los números naturales, por lo que era preciso otro tipo de números. Además con los números naturales no era posible realizar restas cuando el minuendo era menos que el sustraendo, surge así un nuevo conjunto numérico: los números enteros . En este tema vamos a aprender que son los números enteros y que operaciones podemos efectuar con ellos, como ordenarlos, su valor absoluto, etc.
¿Qué son los números enteros?
Los números enteros son todos aquellos números incluidos en los naturales más sus opuestos, incluyendo al cero.Los números enteros comprenden:
- Los números enteros positivos: +1,+2,+3,+4…
- Los números enteros negativos: -1, -2, -3, -4…
- El cero :0
El conjunto de los números enteros se representa con una letra Z, de la siguiente forma:
Son un conjunto infinito de números con los que podemos realizar distintas operaciones: suma , resta, multiplicación y división. Aunque no siempre como veremos más adelante, el resultado es un número entero.
Los números enteros se utilizan con frecuencia en la vida cotidiana, vamos a ver algunos ejemplos
- Un termómetro marca una temperatura de 3 grados bajo cero, sería : -3
- Un pueblo se encuentra a 200 metros sobre el nivel del mar : +20
- Subimos a la tercera planta : +3
- Hemos recibido una propina de 15 euros: +15
Representación en la recta de los números enteros
Los números enteros se pueden representar en la recta real, ordenados de menor a mayor. Se situa el cero como origen y se ubican los números enteros hacia la derecha en secuencia una vez que se haya dibujado una recta dividida en distancias fijas, llamadas unidades, tal y como podemos ver en la siguente ilustración. Los números negativos se colocan a la izquierda del cero. De la siguiente forma
- Se marca el 0 en una recta horizontal situándolo como origen
- A la derecha del cero y con distancias iguales se van marcando los números positivos: +1, +2, +3…
- A la izquierda del cero y con distancias iguales a las anteriosr
Ordenar números enteros
Al tener la función de expresar cantidades, hay números enteros mayores y menores que otros, esa relación es lo que se llama orden.
Para representar que un número es mayor que otro se usa el símbolo « mayor que» > , así colocaremos el número mayor en el lado abierto del símbolo y el menor al otro lado. Para representar que un número es menor que otro se usa el símbolo « menor que» < , así colocaremos el número mayor en el lado abierto del símbolo y el menor al otro lado.
Así podremos comparar dos números enteros, por ejemplo del 5 y el 7 . Sabemos que el 7 es mayor que el 5, luego lo podemos escribir:7>5 .
Valor absoluto de un número entero
El valor absoluto de un número entero a /a/, representa la distancia de un número hasta el 0 (el origen) , igual al número natural que resulta de eliminar el signo.
Ejemplo: Indica a que distancia se encuentran el -4 y el +3 del cero. El -4 está a cuatro unidades del 0 y el 3 está a 3 unidades del 0. Sabemos entonces que |+3|= 3 y |-4|=4
Operaciones con números enteros
- Suma: la suma de dos números enteros es otro número entero. Por ejemplo 3+2 = 5 4+ 8
- Resta: La resta de dos números enteros es siempre un número entero
- Si el minuendo es mayor que el sustraendo, se obtiene un número natural : 5-3=2
- Si el minuendo es menor que es sustraendo, no se obtiene un número natural : 3-8 = -5
- Multiplicación: al multiplicar dos números enteros, obtenemos otro número entero por ejemplo 2 x 3 = 6
- División:
- Operaciones combinadas con números enteros
Suma de números enteros
La suma es la primera operación que vamos a explicar con números enteros.Si sumamos dos números enteros el resultado de la suma será otro número entero. Cuando sumamos números enteros podemos encontrarnos dos casos:
1ºCASO →Si los números enteros tienen el mismo signo se suman sus valores absolutos y se coloca el signo común.
Ejemplo: 5+ 2 = 7 en este caso ambos números tienen signo positivo ( el primer número de una operación si no tiene signo se considera positivo)
2ºCASO →Si los números enteros tienen distinto signo se restan los valores absolutos y se deja el signo del mayor.
Ejemplo (-7) + 5 = -2
Propiedades de la suma de números enteros
- Interna
a+ b ∈ ℤ
Ejemplo: 3 + (-2) = 1 ∈ ℤ
- Asociativa
(a + b) + c = a+ (b + c)
(2 + 5) + (−3) = 2 + ⦋ 5 + ( −3)⦌
7 −3 = 2 + 2
4 = 4
- Conmutativa
(a + b) = (b + a)
4 + ( −3) = ( −3) + 4
1 = 1
- Elemento neutro
a + 0 = a
(− 3) + 0 = −3
- Elemento opuesto
a + (−a) = 0
7+ (−7) = 0
Resta de números enteros
La resta o diferencia de dos números enteros se calcula sumando al minuendo el opuesto del sustraendo. El resultado de la resta de números enteros da como resultado otro número entero.
a – b = a + (−b)
6 – 2 = 4
6 – (−2) = 6 + 2 = 8
Propiedades de la resta de números enteros
- Interna
a − b ∈ ℤ
Ejemplo: 3 − (−2) = 5 ∈ ℤ
- No es conmutativa
(a − b) ≠ (b − a)
7 – 2 ≠ 2 – 7
Suma y resta de números enteros
Para sumar o restar más de dos números enteros podemos hacerlo de dos formas, ambas son correctas, por lo que a la hora de realizar este tipo de operaciones puedes elegir cualquiera de ellas:
*METODO 1 →Operamos paso a paso en el orden en que aparecen los números.
*MÉTODO 2 →Sumamos por un lado los números positivos.
→Sumamos por otro lado los números negativos.
Se puede comprobar que el resultado que se obtiene al desarrollar estas operaciones es el mismo por cualquiera de los dos
Multiplicación de números enteros
La multiplicación de números enteros es igual a la suma de sumandos iguales. A la hora de calcular el producto de números enteros, la clave está en no equivocarse con los signos.
Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus valores absolutos. Teniendo en cuenta que:
- Si los dos factores tienen el mismo signo, el resultado es positivo.
Ejemplo: (+3) ∙ (+5) = +15
(−2) ∙ (−10) = +20
- Si los dos factores tienen signos distintos, el resultado es negativo.
Ejemplo: (−3) ∙ (+5) = −15
(+2) ∙ (−10) = −20
Regla de los signos para la multiplicación
Según la regla de los signos si los factores tiene el mismo signo, el resultado es positivo y si tienen signos distintos, el resultado es negativo.
- Si los factores tienen el mismo signo → Resultado positivo
+ ∙ + = + Ejemplo: 6 ∙ 5= 30
− ∙ − = + Ejemplo: (−6) ∙ (−5) = 30
- Si los factores tienen distinto signo → Resultado negativo
+ ∙ − = − Ejemplo : (+6) ∙ (−5) = −30
− ∙ + = − Ejemplo : (−6) ∙ (+5) = −30
Propiedades de la multiplicación de números enteros
- Interna
El resultado de multiplicar dos números enteros es otro número entero
a ∙ b ϵ ℤ
- Conmutativa
El orden de los factores no altera el producto. Si a y b ϵ ℤ
a ∙ b = b ∙ a
Ejemplo: 3 ∙ ( −7) = ( −7) ∙ 3
−21 = − 21
- Asociativa
El producto de varios factores no depende de cómo se agrupen al hacer los cálculos. Si a y b ϵ ℤ , se cumple:
(a ∙ b) ∙ c = a ∙ (b ∙ c)
Ejemplo: (3 ∙ 2) ∙ (− 5) = 3 ∙ (2 ∙ (−5))
6 ∙ (−5) = 3 ∙ ( −10)
−30 = − 30
- Elemento neutro
El número 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque cualquier número multiplicado por él da el mismo número
a ∙ 1 = a
Ejemplo: (−2) ∙ 1 = − 2
- Propiedad distributiva
El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de ese número por cada sumando.
a ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ c
Ejemplo: ( −3) ∙ ( 2 +5) = ( −3) ∙ 2 + ( −3) ∙ 5
( −3) ∙ 7 = ( −6) + ( −15)
−21 = − 21
- Sacar factor común
Se trata proceso inverso a la propiedad distributiva. Cuando hay varios sumandos que tienen un factor común, se puede transformar la suma en producto sacando ese factor.
a ∙ b + a ∙ c = a ∙ (b + c)
Ejemplo: ( −3) ∙ 2 + ( −3) ∙ 5 =( −3) ∙ (2 +5)
División de números enteros
La división de números enteros no da siempre como resultado un número entero, a veces la división no es exacta y el cociente es un número decimal, que pertenecería a otro conjunto numérico, los números racionales.
La división de dos números enteros es el cociente de sus valores absolutos entre el dividendo y el divisor, y tendrá el signo que se obtiene al aplicar la regla de los signos De este modo en cuenta que:
- Si dividendo y divisor tienen el mismo signo, el resultado es positivo.
Ejemplo: (+15) : (+3) = +5
(−10) : (−2) = +5
- Si dividendo y divisor tienen signos distintos, el resultado es negativo.
Ejemplo: (−15) : (+3) = −5
(10) : (−2) = −5
Regla de los signos para la división
Según la regla de los signos si dividendo y divisor tiene el mismo signo, el resultado es positivo y si tienen signos distintos, el resultado es negativo:
- Si dividendo y divisor tienen el mismo signo → Resultado positivo
+ : + = + Ejemplo: 30 : 5= 6
- : − = + Ejemplo: (−30) : (−5) = 6
- Si dividento y divisor tienen distinto signo → Resultado negativo
+ : − = − Ejemplo : (+ 30 ) : (−5) = − 6
– : + = − Ejemplo : (−30) : (+5) = − 6
Propiedades de la división de números enteros
- No es operación interna
El resultado de dividir dos números enteros no es siempre otro número entero si el cociente no da exacto, es decir si el resto es distinto de cero
(-12 ): 5 ∉ ℤ
- No es conmutativa
Al cambiar de orden dividendo y divisor ,no se obtienen el mismo resultado. Si a y b ϵ ℤ → a : b ≠ b : a
Ejemplo: (21) : ( −7) ≠ ( −7) : 21