¿Qué operaciones podemos realizar con los números enteros?
Hay tres operaciones con números enteros que tienen como resultado números enteros: la suma, la resta y la multiplicación. En este apartado vamos a explicar las operaciones con números enteros, las propiedades de cada operación, la ley de los signos, y ejercios resueltos paso a paso.
¿Que son los números enteros?
Los números enteros son todos aquellos números incluidos en los naturales más sus opuestos, incluyendo al cero. Los números enteros comprenden:
- Los números enteros positivos: +1,+2,+3,+4…
- Los números enteros negativos: -1, -2, -3, -4…
- El cero :0
El conjunto de los números enteros se representa con una letra Z, de la siguiente forma:
Operaciones con números enteros
Ahora que conocemos el conjunto de los números enteros vamos a ver que operaciones se pueden realizar con ellos.
- La suma: la suma de dos números enteros es otro número entero. Por ejemplo 3+2 = 5 4+ 8
- La resta :La resta de dos números enteros es un número entero
- Si el minuendo es mayor que el sustraendo, se obtiene un número natural y entero : 5-3=2
- Si el minuendo es menor que es sustraendo, no se obtiene un número natural , pero si entero: 3-8 = -5
- La multiplicación :al multiplicar dos números enteros, obtenemos otro número entero por ejemplo 2 x 3 =
- La división : al dividir dos números enteros, el resultado no es siempre otro número entero, puede ser un número racional.
- Operaciones combinadas
Debemos, por tanto, tener en cuenta que el resultado de estas operaciones no siempre va a ser un número entero. Ä continuación vamos a ver todas esas operaciones y sus propiedades.
Suma de números enteros
La suma es la primera operación que vamos a explicar con números enteros.Si sumamos dos números enteros el resultado de la suma será otro número entero. Cuando sumamos números enteros podemos encontrarnos dos casos:
1ºCASO →Si los números enteros tienen el mismo signo se suman sus valores absolutos y se coloca el signo común.
Ejemplo: 5+ 2 = 7 en este caso ambos números tienen signo positivo ( el primer número de una operación si no tiene signo se considera positivo)
2ºCASO →Si los números enteros tienen distinto signo se restan los valores absolutos y se deja el signo del mayor.
Ejemplo (-7) + 5 = -2
Propiedades de la suma de números enteros
- Interna
a+ b ∈ ℤ
Ejemplo: 3 + (-2) = 1 ∈ ℤ
- Asociativa
(a + b) + c = a+ (b + c)
(2 + 5) + (−3) = 2 + ⦋ 5 + ( −3)⦌
7 −3 = 2 + 2
4 = 4
- Conmutativa
(a + b) = (b + a)
4 + ( −3) = ( −3) + 4
1 = 1
- Elemento neutro
a + 0 = a
(− 3) + 0 = −3
- Elemento opuesto
a + (−a) = 0
7+ (−7) = 0
Resta de números enteros
La resta o diferencia de dos números enteros se calcula sumando al minuendo el opuesto del sustraendo. El resultado de la resta de números enteros da como resultado otro número entero.
a – b = a + (−b)
6 – 2 = 4
6 – (−2) = 6 + 2 = 8
Propiedades de la resta de números enteros
- Interna
a − b ∈ ℤ
Ejemplo: 3 − (−2) = 5 ∈ ℤ
- No es conmutativa
(a − b) ≠ (b − a)
7 – 2 ≠ 2 – 7
Multiplicación de números enteros
La multiplicación de números enteros es igual a la suma de sumandos iguales. A la hora de calcular el producto de números enteros, la clave está en no equivocarse con los signos.
Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus valores absolutos. Teniendo en cuenta que:
- Si los dos factores tienen el mismo signo, el resultado es positivo.
Ejemplo: (+3) ∙ (+5) = +15
(−2) ∙ (−10) = +20
- Si los dos factores tienen signos distintos, el resultado es negativo.
Ejemplo: (−3) ∙ (+5) = −15
(+2) ∙ (−10) = −20
Regla de los signos para la multiplicación
Según la regla de los signos si los factores tiene el mismo signo, el resultado es positivo y si tienen signos distintos, el resultado es negativo.
- Si los factores tienen el mismo signo → Resultado positivo
+ ∙ + = + Ejemplo: 6 ∙ 5= 30
− ∙ − = + Ejemplo: (−6) ∙ (−5) = 30
- Si los factores tienen distinto signo → Resultado negativo
+ ∙ − = − Ejemplo : (+6) ∙ (−5) = −30
− ∙ + = − Ejemplo : (−6) ∙ (+5) = −30
- 3 ∙ 4 = 12
- (−3)∙ (−4) =12
- 3 ∙ (−4) = − 12
- (−3) ∙ 4 = − 12
Propiedades de la multiplicación de números enteros
- Interna
El resultado de multiplicar dos números enteros es otro número entero
a ∙ b ϵ ℤ
- Conmutativa
El orden de los factores no altera el producto. Si a y b ϵ ℤ
a ∙ b = b ∙ a
Ejemplo: 3 ∙ ( −7) = ( −7) ∙ 3
−21 = − 21
- Asociativa
El producto de varios factores no depende de cómo se agrupen al hacer los cálculos. Si a y b ϵ ℤ , se cumple:
(a ∙ b) ∙ c = a ∙ (b ∙ c)
Ejemplo: (3 ∙ 2) ∙ (− 5) = 3 ∙ (2 ∙ (−5))
6 ∙ (−5) = 3 ∙ ( −10)
−30 = − 30
- Elemento neutro
El número 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque cualquier número multiplicado por él da el mismo número
a ∙ 1 = a
Ejemplo: (−2) ∙ 1 = − 2
- Propiedad distributiva
El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de ese número por cada sumando.
a ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ c
Ejemplo: ( −3) ∙ ( 2 +5) = ( −3) ∙ 2 + ( −3) ∙ 5
( −3) ∙ 7 = ( −6) + ( −15)
−21 = − 21
- Sacar factor común
Se trata proceso inverso a la propiedad distributiva. Cuando hay varios sumandos que tienen un factor común, se puede transformar la suma en producto sacando ese factor.
a ∙ b + a ∙ c = a ∙ (b + c)
Ejemplo: ( −3) ∙ 2 + ( −3) ∙ 5 =( −3) ∙ (2 +5)
División de números enteros
La división de números enteros no da siempre como resultado un número entero, a veces la división no es exacta y el cociente es un número decimal, que pertenecería a otro conjunto numérico, los números racionales.
La división de dos números enteros es el cociente de sus valores absolutos entre el dividendo y el divisor, y tendrá el signo que se obtiene al aplicar la regla de los signos De este modo en cuenta que:
- Si dividendo y divisor tienen el mismo signo, el resultado es positivo.
Ejemplo: (+15) : (+3) = +5
(−10) : (−2) = +5
- Si dividendo y divisor tienen signos distintos, el resultado es negativo.
Ejemplo: (−15) : (+3) = −5
(10) : (−2) = −5
Regla de los signos para la división
Según la regla de los signos si dividendo y divisor tiene el mismo signo, el resultado es positivo y si tienen signos distintos, el resultado es negativo:
- Si dividendo y divisor tienen el mismo signo → Resultado positivo
+ : + = + Ejemplo: 30 : 5= 6
- : − = + Ejemplo: (−30) : (−5) = 6
- Si dividento y divisor tienen distinto signo → Resultado negativo
+ : − = − Ejemplo : (+ 30 ) : (−5) = − 6
– : + = − Ejemplo : (−30) : (+5) = − 6
En líneas generales podemos decir que la división de dos números enteros tiene como resultado otro número entero o no, cuyo valor es el cociente de los valores absolutos y como signo el obtenido de la aplicación de la regla de los signos.
Ejemplo:
- 24 : (−8 )= −3
- (−140) : (+7) =−20
- (−45) : (−15) = +3
- (100) : ( −25) = − 4
División de varios números enteros
Para hacer varias divisiones seguidas se efectúan de izquierda a derecha, aplicando siempre la regla de los signos.
- Dividir de dos en dos de forma sucesiva:
(−28) : (−4) : (−1)=
↓
= (+7) : (− 1) ) = -7
Propiedades de la división de números enteros
- No es operación interna
El resultado de dividir dos números enteros no es siempre otro número entero si el cociente no da exacto, es decir si el resto es distinto de cero
(-12 ): 5 ∉ ℤ
- No es conmutativa
Al cambiar de orden dividendo y divisor ,no se obtienen el mismo resultado. Si a y b ϵ ℤ → a : b ≠ b : a
Ejemplo: (21) : ( −7) ≠ ( −7) : 21
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